(mini eseu)
Modalitatile matematice de rationament se bazeaza pe principiul ca orice enunt este Adevarat (1) sau Fals (0). Realitatea a impus de multe ori insuficienta acestui principiu. Logica formala (bivalenta) accepta ca obiect de studiu numai propozitii care iau valoarea de adevar Fals sau Adevarat. Unele propozitii nu pot primi aceste valori in anumite circumstante (de exemplu "Maine va ploua."). Acestea sunt paradoxuri, propozitii care nu poate fi acceptate de logica bivalenta, deoarece analiza valorilor de adevar conduce la contradictii. Sunt cunoscute destul de multe paradoxuri, care duc la dificultati de consistenta ale logicii formale. De exemplu, Paradoxul mincinosului care consta in urmatoarea situatie:


Fie A o persoana care spune numai minciuni. Ce valoare de adevar are afirmatia
sa "Eu mint." ?
Cum A minte, ar trebui ca aceasta sa fie o minciuna. Deci A spune adevarul.
Dar, daca ar spune adevarul, atunci propozitia "Eu mint" este adevarata, adica
A minte.


Ideea ca exista enunturi care nu sunt nici adevarate, nici false conduce la fomularea lui Lukasiewicz din 1920 a calculului propozitional trivalent, mai tarziu n-valent si chiar numarabil-valent. Lukasiewicz a considerat o a treia valoare de adevar (1/2), astfel unei propozitii ii este asociata o valoare de adevar din trei posibile (nu doua ca in logicile clasice), deci conditia de validitate este mai riguroasa.
Axiomatizarea logicii trivalente (Wajsberg 1931) a dat un cadru algebric in care orice propozitie este demonstrabila sau nu.
Teorema de completitudine arata echivalenta dintre demonstrabilitate si validitate. Spunem ca o propozitie este adevarata daca si numai daca algebric se poate construi o demonstratie a ei. Axiomatizarea sistemului logicii trivalenta a creat cadrul in care aceasta echivalenta este demonstrabila (Teorema de completitudine).
Intr-un sistem in care Adevarat si Fals nu mai sunt singurele valori de adevar, demonstrabilitatea devine conditie necesara si suficienta pentru Adevar.